Есть конспект?
Пришлите нам!

3.4 Основные законы алгебры логики.

 
Основные законы АЛ позволяют проводить эквивалентные преобразования функций, записанных с помощью логических операций AND, OR, NO, приводить их к удобному для дальнейшего использования виду и упрощать запись. 
Для доказательстванижеприведенных законов алгебры логики можноиспользовать таблицыистинности элементарных логических действий или другие способы их выражения.
     1. Комплементарность.
      
  a  ·a' = 0;                                                         a + a' = 1
 
Доказательство: 0 and 1 = 0;  1 and 0 = 0;             0 or 1 = 1;  1 or 0 = 1
 
     2. Идемпотентный закон.
     
   a ·a =а;                                                          а + а=а
 
Доказательство: 0 and 0 = 0;  1 and 1 = 1             0 or 0 = 0;  1 or 1 = 1
 
     3. Переместительный закон.
    
    а + в = в + а;                                                   а·в = в·а
 
От перемены мест слагаемых или множителей результат не меняется.
 
     4. Сочетательный закон.
    
    (а + в) + с = а + (в + с);                                 ·в) ·с = а· (в·с)
 
Если над аргументами функции выполняются однотипные логические действия, то их можно произвольно группировать (объеденять), изменяя последовательность действий.
 
     5. Закон поглощения.
 
        а + а·в = а· (1 + в) = а;                                    а· (a + в) = а + ав = а
 
Вынесем общий множитель в. Зная, что 1 + в = 1, получим:   а and 1 =  а
 
     6. Распределительный закон.
       а(в + с) = ав + ас;                                             а + вс = (а + в)(а + с)
Задание. Самостоятельно доказать первую часть распределительного закона, используя таблицу истинности:
а
в
с
в+с
ав
ас
а(в + с)
ав + ас
0
0
0
 
 
 
 
 
1
0
0
 
 
 
 
 
0
1
0
 
 
 
 
 
0
0
1
 
 
 
 
 
1
1
0
 
 
 
 
 
1
0
1
 
 
 
 
 
0
1
1
 
 
 
 
 
1
1
1
 
 
 
 
 
 
Задание. Самостоятельно доказать вторую часть распределительного закона, используя таблицу истинности:
а
в
с
вс
а + вс
(а + в)
(а + с)
(а + в)
(а + с)
0
0
0
 
 
 
 
 
1
0
0
 
 
 
 
 
0
1
0
 
 
 
 
 
0
0
1
 
 
 
 
 
1
1
0
 
 
 
 
 
1
0
1
 
 
 
 
 
0
1
1
 
 
 
 
 
1
1
1
 
 
 
 
 
 
     7. Закон склеивания
     
       ав + ав' = а;                                                 (а + в)(а + в') = а
Если один из аргументов изменяется при неизменном результате (функции), то этот аргумент можно исключить из выражения. Это один из самых важных законов, часто используемых для минимизации логических функций.
Задание. Самостоятельно доказать первую часть закона склеивания, используя распределительный закон.
Задание. Самостоятельно доказать вторую часть закона склеивания, используя распределительный закон и закон поглащения.
 
Доказательство: (а + в)(а + в') = а + ав + ав' + вв' = а + а(в + в') + 0 = а + а·1 = а + а = а
 
     8.Правило де Mоргана.
 
Это правило преобразования одного типа логики в другую. (ANDв OR и , наоборот, ORв AND). Для этого необходимо инвертировать аргументы и все выражение вместе.
 
а + в + с + .... + z = ( а'в'с'...z' )'
авс... = ( а' + в' + с' + ... + z' )'
 
Задание. Самостоятельно доказать правило, используя таблицу истинности:
а + в  = ( а'в')'
 
а
в
а'
в'
а'в'
а + в
( а'в')'
0
0
 
 
 
 
 
1
0
 
 
 
 
 
0
1
 
 
 
 
 
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Задача 3.1
Для следующего задания составить:
1.       Таблицу истинности
2.       Словесно-аналитическое описание
3.       Временную диаграмму 
4.       Математическое логическое выражение  
5.       Преобразавать  по правилу де Моргана
6.       Логическую функциональную блок-схему
7.       Электрическую схему до преобразования
8.       Электрическую схему после преобразования по правилу де Моргана
9.       Симулировать работу программы в LOGO!Soft
10.   Доказать их тождество
 
Лампа Н1 горит, если нажать кнопку S1, при этом кнопка S2 ненажата. В других вариантах лампа гореть не будет. 
 

S1

S2

H1

0

0

 

1

0

 

0

1

 

1

1

 

Ход работы:
1. Закончить таблицу  истинности
 
 
 
 
 
2. Закончить cловесно-аналитическое описание:
Лампа Н1 горит, если S1 .........     ....... S2
 
3. Закончить временную диаграмму:
 
 
 
 
 
 
4. Записать логическую функцию в математическом виде:
Н1 = S1  ? S2 .......
 
5. Преобразовать полученное выражение по правилу де Моргана:
Подпись:  Н1 = S1  ? S2 .......= (S1.......?  S2) ......
 
6. Закончить функциональную блок-схему (первый вариат): 
 
 
 
Подпись:  7. На основе функциональной схемы закончить электрическую схему(первый вариат):
 
 
 
 
 
 
 
 

S1

S2

H1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

Решение:
1. Таблица  истинности
 
 
 
 
 
2. Словесно-аналитическое описание:
Лампа Н1 горит, если S1 ине S2
Подпись:  
3. Временная диаграмма:
 
 
 
 
 
 
 
4. Логическая функция в математическом виде:
 
Н1 = S1 · S2`
 
5. Выражение, преобразованное  по правилу де Моргана:
 
Н1 = S1 · S2`= (S1` + S2)`
Подпись:  
6. Блок-схема: 
 
 
 
 
Подпись:  
7. Электрическая схема:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Симулировать работу устройства в LOGO!Soft.
Задача 3.2
Для следующего задания составить:
11.   Таблицу истинности
12.   Словесно-аналитическое описание
13.   Временную диаграмму 
14.   Математическое логическое выражение  
15.   Преобразавать  по правилу де Моргана
16.   Логическую функциональную блок-схему
17.   Электрическую схему до преобразования
18.   Электрическую схему после преобразования по правилу де Моргана
19.   Симулировать работу программы в LOGO!Soft
20.   Доказать их тождество
 
Лампа Н1 горит, если обе кнопки (S1, S2)ненажаты. В других вариантах лампа гореть не будет. 
 

S1

S2

H1

0

0

 

1

0

 

0

1

 

1

1

 

Ход работы:
1. Закончить таблицу  истинности
 
 
 
 
 
2. Закончить cловесно-аналитическое описание:
Лампа Н1 горит, если .......S1 .........   ....... S2
 
3. Закончить временную диаграмму:
 
 
 
 
 
 
4. Записать логическую функцию в математическом виде:
Н1 = S1.......  ? S2 .......
 
5. Преобразовать полученное выражение по правилу де Моргана:
Подпись:  Н1 = S1  ? S2 .......= (S1....... ?  S2) ......
 
6. Закончить функциональную блок-схему (первый вариат): 
 
 
Подпись:  
7. На основе функциональной схемы закончить электрическую схему (первый вариат):
 
8. На основе функциональной схемы закончить электрическую схему (второй вариат):
 
 
 
 
 
 

S1

S2

H1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

Решение:
1. Таблица  истинности
 
 
 
 
 
2. Словесно-аналитическое описание:
Лампа Н1 горит, если не S1 ине S2
Подпись:  
3. Временная диаграмма:
 
 
 
 
 
 
 
4. Логическая функция в математическом виде:
Н1 = S1` · S2`
 
5. Выражение, преобразованное  по правилу де Моргана:
Н1 = S1` · S2`= (S1 + S2)`
Подпись:  
6. Блок-схема: 
 
 
 
 
Подпись:  
7. Электрическая схема:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Симулировать работу устройства в LOGO!Soft.

Dr.BoT© Konspektiruem.ru