2.6. Разветвлённые цепи. Законы Кирхгофа

Два закона Кирхгофа служат для расчёта сложных электрических цепей и полностью определяют их электрическое состояние. Возьмём такую электрическую цепь:

Для сложных цепей применяют понятие ветви, узла и контура.

Ветвь – это участок цепи, по которому проходит один и тот же ток и, который состоит из последовательно соединённых элементов – резисторов, источников электроэнергии и т.п.

Узел – это место соединения трёх и более ветвей

Контур цепи – это любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по нескольким её ветвям.

Первый закон Кирхгофа относится к узлам электрической цепи. Согласно этому  закону: алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю.

∑ I = 0   (2.38)

На рисунке  I – I₁ – I₂ = 0  или  I = I₁ + I₂

Второй закон Кирхгофа характеризует равновесие в замкнутых контурах электрической цепи. Согласно этому закону в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма  ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на резисторах, входящих в этот контур, иными словами, в любом замкнутом  электрическом контуре сумма всех падений напряжений равна сумме всех ЭДС в нём.

∑ Е = ∑ I·R   (2.40)

В этом выражении положительными следует считать ЭДС и токи, направления, которых совпадают с произвольно выбранными направлениями обхода рассматриваемого контура.

Возьмём следующую цепь:

Для составления уравнений двух законов Кирхгофа при расчёте токов в подобной цепи сначала произвольно размечаем направление токов в ней. Затем при составлении уравнений для узлов следует иметь в виду, что число независимых уравнений будет на 1 меньше числа узлов m, т.е. число этих уравнений будет  m – 1.

Для узла а:    - I₁ – I₂ + I₃ = 0

Для узла  b    -I₃ + I₁ + I₂ = 0,

Т.е. второе уравнение содержит те же токи, что и первое уравнение и будет лишним. При составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа надо так выбрать контуры обхода, чтобы в каждый последующий контур входило не менее одной ветви, не включённой в ранее обойдённые контуры. Число ветвей  n  равно числу неизвестных токов. Для определения этих  n  токов уже составлено на основании первого закона Кирхгофа (m – 1) уравнений. Следовательно, для расчёта токов согласно второму закону Кирхгофа нужно составить ещё   n – m + 1  уравнений.

Для нашей схемы, где n = 3, а  m = 2, число уравнений второго закона Кирхгофа будет n – m + 1 = 3 – 2 + 1 =2. Эти уравнения будут:

E₁ = I₁·R₁ + I₃·R₃

E₂ = I₂·R₂ + I₃·R₃

(третий контур в этой цепи содержит ветви, уже вошедшие в первые 2 контура, поэтому уравнение E₁ – E₂ = I₁·R₁ – I₂·R₂ будет для расчётов ненужным).

Таким образом, чтобы определить n  неизвестных токов, составляют n уравнений, которые решают совместно. Если при решении окажется, что значение каких-либо токов отрицательно, то из этого следует, что действительное направление токов противоположно принятому в начале расчёта.,

Пример1.

Возьмём цепь, состоящую из двух параллельных источников, замкнутых на сопротивление.

Дано:

Е₁ = Е₂ = 120 В

r₁ = 3 Ом

r₂ = 6 Ом

R= 18 Ом

Найти: I₁, I₂, I.

Т.к. число неизвестных токов 3, то необходимо составить 3 уравнения. По первому закона Кирхгофа:

I = I₁ + I₂

Второе уравнение напишем при обходе контура, состоящего из  первого источника и сопротивления нагрузки.

E₁ = I₁·r₁ + I·R

Аналогично запишем третье уравнение:

E₂ = I₂·r₂ + I·R

Получим систему уравнений:

I = I₁ + I₂

E1 = I₁·r₁ + I·R

E2 = I₂·r₂ + I·R

Подставим  числовые значения:

I = I₁ + I₂                (1)

120 = 3·I₁ + 18·I    (2)

120 = 6·I₂ + 18·I    (3)

Вычтем из второго уравнения третье, получим

0 = 3·I₁ – 6·I₂, откуда

2·I₂ = I₁,  тогда из первого уравнения:

I = 2·I₂ + I₂ = 3·I₂

Подставим во второе уравнение:

120 = 6·I₂ + 18·3·I₂ = 60·I₂, откуда

I₂ = 2 A

I₁ = 4A

I = 6A.

Решим эту же задачу, взяв другие контура.

I = I₁ + I₂

E1 – E₂ = I₁·r₁– I₂·r₂

E2 = I₂·r₂ + I·R

Подставим числовые значения.

I = I₁ + I₂

120 – 120 = 3·I₁ – 6·I₂

120 = 6·I₂ + 18·I

I = I₁ + I₂                                        I = I₁ + I₂      (1)

3·I₁ – 6·I₂ = 0                 =>           I₁ = 2·I₂          (2)

18·I + 6·I₂ = 120                            3·I + I₂ = 20    (3)

Подставим (2) в (1), получим:

I = 2·I₂ + I₂ = 3·I₂,

теперь подставим значение  I  в (3):      3·3I₂ + I₂ = 20 =>10·I₂ = 20, откуда

I₂ = 2 A

I₁ = 4 A

I = 6 A

Получили те же ответы.

Пример 2.

Дано: Е₁ = 110 В, Е₂ = 60 В, R₁ = 10 Ом, R₂ =5 Ом, R₃ = 20 Ом.    Определить:  I₃

Составим уравнения:

I₁ = I₂ + I₃

E₁ = I₁·R₁ + I₃·R₃

E₂ = I₂·R₂ – I₃·R₃

I₁ = I₂ + I₃

110 = 10·I₁ + 20·I₃

60 = 5·I₂ – 20·I₃

Сложим второе и третье уравнения, получим

170 = 10·I₁ + 5·I₂ или, поделив на 5:   34 = 2·I₁ + I₂,   откуда   

I₂ = 34 – 2·I₁ (*), подставив (*) в первое уравнение, получим:

I₁ = 34 – 2I₁ +I₃, откуда I₃ = 3·I₁ – 34.

Подставим значения  I₂ и  I₃, выраженные через  I₁ в третье уравнение:

60 = 5·(34 - 2·I₁) – 20·(3·I₁ – 34)

60 = 170 – 10·I₁ – 60·I₁ + 680

60 – 170 – 680 = - 10·I₁ – 60·I₁, умножим на  -1

680 + 170 – 60 = 70·I₁

790 = 70·I₁

I₁ = 11,286 A

I₃ = 3I₁ – 34 = 11,286·3 – 34 = - 0,14 A.

Как видим, I₃ имеет отрицательное значение. Значит на самом деле направление тока  I₃ противоположное, чем на нашей схеме.

Пример 3.

Дано: R = 2 Ом,  Е = 15 В.   Определить: I₁, I₂, I₃.

Составим уравнения:

E + E = I₁∙R + I₁∙R – I₂∙R

 – E – E = I₂·R – I₃·R

I₁ + I₂ + I₃ = 0

30 = 4·I₁ – 2·I₂              (1)

 – 30 = 2·I₂ – 2·I₃        (2)

I₁ + I₂ + I₃ = 0            (3)

Сложим (1) и (2):

0 = 4·I₁ – 2·I₃, откуда

I₃ = 2·I₁ (*)

Подставим (*) во второе уравнение:

 – 30 = 2·I₂ – 4·I₁

2·I₂ = – 30 + 4·I₁

I₂ = 2·I₁ – 15  (**).

Подставим (*) и (**) в (3):

I₁ + ( 2·I₁ – 15 ) + 2·I₁ = 0

I₁ + 2·I₁ – 15 + 2·I₁ = 0           5·I₁ = 15;

I₁ = 15 / 5 = 3 A

I₃ = 6A:  I₂ = – 9 A.