Есть конспект?
Пришлите нам!

2.6. Разветвлённые цепи. Законы Кирхгофа

Два закона Кирхгофа служат для расчёта сложных электрических цепей и полностью определяют их электрическое состояние. Возьмём такую электрическую цепь:

Для сложных цепей применяют понятие ветви, узла и контура.

Ветвь – это участок цепи, по которому проходит один и тот же ток и, который состоит из последовательно соединённых элементов – резисторов, источников электроэнергии и т.п.

Узел – это место соединения трёх и более ветвей

Контур цепи – это любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по нескольким её ветвям.

Первый закон Кирхгофа относится к узлам электрической цепи. Согласно этому  закону: алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю.

I = 0   (2.38)

На рисунке  I – I1 – I2 = 0  или  I = I1 + I2

 

Второй закон Кирхгофа характеризует равновесие в замкнутых контурах электрической цепи. Согласно этому закону в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма  ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на резисторах, входящих в этот контур, иными словами, в любом замкнутом  электрическом контуре сумма всех падений напряжений равна сумме всех ЭДС в нём.

∑ Е = ∑ I·R   (2.40)

В этом выражении положительными следует считать ЭДС и токи, направления, которых совпадают с произвольно выбранными направлениями обхода рассматриваемого контура.

Возьмём следующую цепь:

Для составления уравнений двух законов Кирхгофа при расчёте токов в подобной цепи сначала произвольно размечаем направление токов в ней. Затем при составлении уравнений для узлов следует иметь в виду, что число независимых уравнений будет на 1 меньше числа узлов m, т.е. число этих уравнений будет  m – 1.

Для узла а:    - I1 – I2 + I3 = 0

Для узла  b    -I3 + I1 + I2 = 0,

Т.е. второе уравнение содержит те же токи, что и первое уравнение и будет лишним. При составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа надо так выбрать контуры обхода, чтобы в каждый последующий контур входило не менее одной ветви, не включённой в ранее обойдённые контуры. Число ветвей  n  равно числу неизвестных токов. Для определения этих  n  токов уже составлено на основании первого закона Кирхгофа (m – 1) уравнений. Следовательно, для расчёта токов согласно второму закону Кирхгофа нужно составить ещё   n – m + 1  уравнений.

Для нашей схемы, где n = 3, а  m = 2, число уравнений второго закона Кирхгофа будет n – m + 1 = 3 – 2 + 1 =2. Эти уравнения будут:

E1 = I1·R1 + I3·R3

E2 = I2·R2 + I3·R3

(третий контур в этой цепи содержит ветви, уже вошедшие в первые 2 контура, поэтому уравнение E1 – E2 = I1·R1 – I2·R2 будет для расчётов ненужным).

Таким образом, чтобы определить n  неизвестных токов, составляют n уравнений, которые решают совместно. Если при решении окажется, что значение каких-либо токов отрицательно, то из этого следует, что действительное направление токов противоположно принятому в начале расчёта.,

 

Пример1.

Возьмём цепь, состоящую из двух параллельных источников, замкнутых на сопротивление.

Дано:

Е1 = Е2 = 120 В

r1 = 3 Ом

r2 = 6 Ом

R= 18 Ом

Найти: I1, I2, I.

Т.к. число неизвестных токов 3, то необходимо составить 3 уравнения. По первому закона Кирхгофа:

I = I1 + I2

Второе уравнение напишем при обходе контура, состоящего из  первого источника и сопротивления нагрузки.

E1 = I1·r1 + I·R

Аналогично запишем третье уравнение:

E2 = I2·r2 + I·R

Получим систему уравнений:

I = I1 + I2

E1 = I1·r1 + I·R

E2 = I2·r2 + I·R

Подставим  числовые значения:

I = I1 + I2                (1)

120 = 3·I1 + 18·I    (2)

120 = 6·I2 + 18·I    (3)

Вычтем из второго уравнения третье, получим

0 = 3·I1 – 6·I2, откуда

2·I2 = I1,  тогда из первого уравнения:

I = 2·I2 + I2 = 3·I2

Подставим во второе уравнение:

120 = 6·I2 + 18·3·I2 = 60·I2, откуда

I2 = 2 A

I1 = 4A

I = 6A.

Решим эту же задачу, взяв другие контура.

 

I = I1 + I2

E1 – E2 = I1·r1– I2·r2

E2 = I2·r2 + I·R

Подставим числовые значения.

I = I1 + I2

120 – 120 = 3·I1 – 6·I2

120 = 6·I2 + 18·I

 

I = I1 + I2                                        I = I1 + I2      (1)

3·I1 – 6·I2 = 0                 =>           I1 = 2·I2          (2)

18·I + 6·I2 = 120                            3·I + I2 = 20    (3)

Подставим (2) в (1), получим:

I = 2·I2 + I2 = 3·I2,

теперь подставим значение  I  в (3):      3·3I2 + I2 = 20 =>10·I2 = 20, откуда

I2 = 2 A

I1 = 4 A

I = 6 A

Получили те же ответы.

 

Пример 2.

Дано: Е1 = 110 В, Е2 = 60 В, R1 = 10 Ом, R2 =5 Ом, R3 = 20 Ом.    Определить:  I3

Составим уравнения:

I1 = I2 + I3

E1 = I1·R1 + I3·R3

E2 = I2·R2 – I3·R3

 

I1 = I2 + I3

110 = 10·I1 + 20·I3

60 = 5·I2 – 20·I3

Сложим второе и третье уравнения, получим

170 = 10·I1 + 5·I2 или, поделив на 5:   34 = 2·I1 + I2,   откуда   

I2 = 34 – 2·I1 (*), подставив (*) в первое уравнение, получим:

I1 = 34 – 2I1 +I3, откуда I3 = 3·I1 – 34.

Подставим значения  I2 и  I3, выраженные через  I1 в третье уравнение:

60 = 5·(34 - 2·I1) – 20·(3·I1 – 34)

60 = 170 – 10·I1 – 60·I1 + 680

60 – 170 – 680 = - 10·I1 – 60·I1, умножим на  -1

680 + 170 – 60 = 70·I1

790 = 70·I1

I1 = 11,286 A

I3 = 3I1 – 34 = 11,286·3 – 34 = - 0,14 A.

Как видим, I3 имеет отрицательное значение. Значит на самом деле направление тока  I3 противоположное, чем на нашей схеме.

 

Пример 3.

Дано: R = 2 Ом,  Е = 15 В.   Определить: I1, I2, I3.

 

Составим уравнения:

 

E + E = I1∙R + I1∙R – I2∙R

 – E – E = I2·R – I3·R

I1 + I2 + I3 = 0

 

30 = 4·I1 – 2·I2              (1)

 – 30 = 2·I2 – 2·I3        (2)

I1 + I2 + I3 = 0            (3)

 

Сложим (1) и (2):

 

0 = 4·I1 – 2·I3, откуда

I3 = 2·I1 (*)

Подставим (*) во второе уравнение:

 – 30 = 2·I2 – 4·I1

2·I2 = – 30 + 4·I1

I2 = 2·I1 – 15  (**).

Подставим (*) и (**) в (3):

I1 + ( 2·I1 – 15 ) + 2·I1 = 0

I1 + 2·I1 – 15 + 2·I1 = 0           5·I1 = 15;

I1 = 15 / 5 = 3 A

I3 = 6A:  I2 = – 9 A.


Dr.BoT© Konspektiruem.ru